雍正传奇趣谈数学与物理的关系-哲学园

趣谈数学与物理的关系-哲学园

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哲学园鸣谢
各门科学中，物理与数学关系最亲，可以说，数学是物理学最铁的铁哥们。其它科学，如：生物学、化学、医学等等，如果没有数学帮忙，还都能大差不差的过得去，唯独物理学，如果没有数学的话，那简直一天日子都过不下去。当初，要不是牛顿发明了微积分，他的三大力学定律和万有引力定律，就很难唱得出精彩的戏来。
尽管，数学家不是一心想去物理学家去攀亲戚，他们多半时间象是山里的隐士，让自己的头脑在逻辑天空中尽情翱翔，对凡尘的事置之度外。

然而，物理学家的日子可没有那样潇洒，他们必须在第一线打拼。有时实在没辙，就去求教数学家，犹如当年三顾茅庐的刘玄德。你还别说，数学家家手头还往往有现成的锦囊妙计。

当年，爱因斯坦一心想根据惯性质量与引力质量相等的原理，搞一个引力理论，然而，一连苦思冥想了好多年，都毫无进展。让他苦恼的是，在引力作用下，空间会发生扭曲，而欧几里得几何学却对此毫无办法。后来，幸好他的好友格罗斯曼告诉他，德国数学家黎曼研究出的一套几何学，应该能帮他解决烦恼。果然，爱因斯坦有了黎曼几何这一有力武器后，就顺顺当当的建立了广义相对论。

另一件有趣的事是发生在量子力学建立的初期。当时，德国青年科学家海森堡为了解决微观问题，独创了一种代数。在这门代数中，乘法交换律不再成立，也就是说，A乘B不等于B乘A。初看起来似乎有点匪夷所思。然而，数学家一眼就看出，不过是早已有之的矩阵代数而已。于是，海森堡把自己的力学称为矩阵力学，与此同时，奥地利科学家薛定谔开发了一套波动力学。后来，薛定谔证明了，矩阵力学和波动力学数学上是同一回事姜桂成。今天，就都被称为量子力学了。
而今天，物理学家们高度重视对称性问题，而研究对称性的群论，早就在数学家手中盘得滚瓜烂熟了。

随着物理学的进展，概念越来越抽象，一天天向数学靠拢。
当年，拉格朗日出版了一本力学专著，从第一页到最后一页，没有一张插图，从头到底都是数学公式。书中唱大戏的是一个被称为“作用量”的量。任何第一次接触到作用量的人都会满脸疑惑，这作用量究竟是什么玩意儿：
能量吗？——否也；
质量？——否也；
力量？——否也。
那究竟是什么？——动能减势能也。
依然疑问重重，动能减势能又算是什么玩意儿？
答曰，动能减势能即为作用量。

总之，你休想用任何具体生动的概念去描画它，作用量者，作用量也。尽管如此，它却是一条再硬不过的死规定：任何物体在空间移动时，必定循着作用量改变最小的路径走。这又是为什么？没有道理可讲，理解得执行，不理解也得执行，在执行中理解，在执行中增加感情。捧起数学书去啃吧，到时候，理解和感情自然会产生。

热力学同样又是一门高度抽象的物理学分支。热力学里的那些熵、焓、自由能等等玩意儿，要多抽象有多抽象。难怪一位热力学的教授说，“女孩子学这门课，常常会哭鼻子。”热力学以三大定律为基础，用状态函数全微分、麦克斯韦尔偏微分关系，和可逆过程的路线积分等一连串数学，让未来的工程师们头晕目眩，却建立起一座宏伟的大厦，严谨程度不亚于欧几里得几何学。难怪，当初波尔兹曼企图把分子统计理论引进热力学时，遭到当时热力学权威的顽固抵制。在他们眼里，雍正传奇波尔兹曼是在往美丽宏伟的热力学宫殿里乱撒灰尘，这还了得！
而电动力学里的电磁波，电场和磁场纵横交错波动，而且，在没有载体的真空里照样能兴风作浪。王安石曾解释汉字的“波”为“水之皮”。显然，他眼里反过来的意思就是，水乃波之肉也。按此方式思考，电磁波成了不附肉之皮了。个中之玄机，除了用数学公式，很难把握得了。

量子力学里，粒子既有微粒性又有波动性，更是日常生活难以想象的，也只有数学函数能说得清楚。
所以，今天的许多基础物理概念，常必须依靠数学来加以诠释。或许，世界正如毕达哥拉斯所想象的那样，是由数构成的。
但是，也别以为，物理学家的一切苦恼，数学家都能帮忙解决，事实远非如此。

与物理学关系最密切的数学分支是微分方程，几乎所有的物理学分支都与微分方程结下不解之缘。
同一个微分方程可以解答许多物理问题，也可以有无数多个解。有人会有疑问了，那么多的解，该选哪个好？其实，这倒不用担心的，一旦把这个方程的初始条件和边界条件拿准了，这个方程的解也就定了下来。然而，当今的数学家们往往只有在在十分理想的条件下，才能提供微分方程的严格解。对于边界简单的状况，如：圆形、矩形等等，有时还能对付得过去。而实际情况往往要复杂得多，比如，建筑师会想出各种各样的建筑外形来，越是怪异，他就越能出名。例如，澳大利亚的悉尼歌剧院的屋顶，真是要多就多美，可是，要想求得屋顶各处的受力情况，即使再等上一百年也未必能得到严格解。正如俗话说的，“文官动动嘴，武官跑断腿。”出名的是建筑师，累死的是结构师。这种情况下，要是没有大型计算机，结构师即使活活累死还是没辙。实际山，计算机用的是一种求近似解的方法：将无穷小的微分用有限小的差分，如：0.1，0.001或0.0001等来替代，然后一步步算过去。至于有限小差分到底选多小，就看你的计算耐心和每次计算的误差了。今天，有了大型计算机，虽然都是近似值，但对于许多实际问题，精度完全是能做到的。建筑师尽管出难题，计算机和软件都是现成的，方案一输进去，一会儿答案就会出来。许多其它科学和工程问题也同样依靠这样的方法来解决。
但是，也别以为有了计算机就万事大吉了。有许多事，你即使把全世界巨型计算机都搬来都不顶用。比如，在研究高能物理的量子场论中，任何一个粒子都把自己的场一直延伸到无穷远处。计算机神通再大，也没法从无穷远处一路算过来，再算过去。
不过，数学家还有别的招术来求近似解，最常用的一种，是所谓的逐次迭代法。具体说来是这样的，对于如下形式的这个方程：
X=f(X) …………………….. (1)
先假设一个X0放进方程(1)右边，顶替X，于是就有:
X1=f(X0)
如果，X1恰好等于X0，那就万事大吉，说明我们已经求得了方程的解，那就是X=X0=X1，然而，天底下很少有这样好的运气。那怎么办？那就一步步如法炮制的替代下去：
X2=f(X1)
X3=f(X2)
……
Xn=f(Xn-1)
如果一次次计算的差距都在不断缩小，当Xn-Xn-1小到能够满足我们的精度要求时，我们就可以说，X基本上等于 Xn或Xn-1，任务算是功德圆满了。
这一套手法是研究量子场论的科学家最称手的杀手锏，时时刻刻都拿在手里使用的，他们对每次迭代都作了相应的物理解释（注1）。物理学家费曼还画出力的传递粒子的路线图，来代表每次迭代过程，这些图被称为费曼图。
话说到这里，一定有人来责问了，“您怎么能保证一次次代下去，差距越来越小，而不会越来越大？”
一点不假，差距变得越来越大的例子多得数不过来。这里，不妨举一个最普通的代数问题为例：
X^2-10X = 0
只要学过初中一年级代数，都知道这个代数式通过因式分解，就成为：
X（X-10）= 0
于是，一眼就可以看出，这个方程有两个根，一个是X=0，另一个是X=10。现在，我们把这个方程式转换成（1）的形式：
X=X^2/10 …………… (2)
现在，来看看逐次迭代能得到什么结果。
我们随便取一个数作为X0，例如，令X0=1，代入方程（2）的右边，于是，可以一连串得到：
X1= 0.1X2=0.001X3=0.000001
显然，以非常快的速度，一路向根X=0 奔去，我们应该对此感到非常满意。可是，问题又来了，还有一个根X=10 呀，那又该咋办？是不是我们一开头取的X0=1离它太远了点？好，我们重新取X0=9，看看情况又会如何。迭代的几次结果是：
X1= 8.1X2=6.56X3=4.3…….
同样是一路向X=0那个根奔，却对X=10毫不理会。
或许，我们把X0取小了，取大一点的，比如X0=11，又会怎么样呢？情况如下：
X1= 12.1
X2=14.6X3=21.3…….
好家伙，居然把根X=10抛在脑后，一路往无穷大狂飙了，X=10在这里似乎成了讨厌鬼，大家都不愿跟它沾边。看来，逐次迭代法并不是招招都灵。其实，什么时候逐次迭代法可以一展身手，什么时候行不通，数学家们是早就有了判断的办法了（注2）。

可是，高能物理学家们对这个问题似乎不太放在心上，他们的场方程在第一次迭代后效果很好，可是，才进行第二次迭代，就出现了无穷大，于是，他们想方设法搞了个无穷大减无穷大，居然也能得到令人满意的结果。他们把这个过程称为重整化。数学家们看了只能直摇头。可是，既然效果那么好，还管那么多干吗呢。

让数学家最头疼的是所谓的“非线性”问题。何谓非线性呢？简而言之，如果变量X在方程里只以一次式出现，那就是线性的，反之，如出现X2或1/X等项目，那就是非线性的了。
一旦遇到非线性问题，数学家在绝大多数情况下没法可想，物理学家也只能绞尽脑汁提出一些简化模型来对付。
其实，量子场论力的方程还只能算是半线性的，广义相对论的引力方程是百分百的非线性。当初，爱因斯坦把它搞出来后，不由得愁上心头，这样一个非线性方程，何年哪月能找到它的一个严格解啊？可是，前苏联的数学家弗里德曼没让爱因斯坦愁太久，就找到了一个解，以后，宇宙大爆炸、黑洞…等等一系列热闹问题登场了。
引力方程毕竟是研究宇宙的，与我们老百姓日常生活几乎毫无关系。但是，有一个与我们天天密切相关的问题，却也是百分百的非线性，这就是被称为，奈维—斯托克斯方程的流体力学方程。
非线性方程不仅难以求得严格解，另一个难缠的是，它往往有不止一个解，还会象泥鳅似的在不同解之间游来荡去。我们日常看到的不断变化的流水波纹，或无风时的袅袅青烟，都反映了这种情况。
绝大多数流体力学问题，指望不上数学家，只能硬拼实验。于是，一座座大规模风洞建立起来。可是，风洞再大也没法把整架空客或波音这样巨型客机塞进去。流体力学家们想到了一些经验放大的办法。他们引入了一些被称为“无因次数”的量，这些量都没有任何计量单位。第一个这样的无因次量叫做雷诺数，计算式子很简单：
雷诺数=特征长度*流体速度*流体密度/黏度
（这里的特征长度根据具体情况而定，可以是管子的直径，也可以是机翼的宽度）。
参与雷诺数里各个量的单位会全部抵消，于是，雷诺数就没了单位。不管你用什么单位制计算，得出数值都是一样的，比如，你用国际标准的厘米.克.秒制，算出的雷诺数是1000，你用英制的英尺.磅.秒来计算的话，得到的雷诺数同样也是1000（注3）。
同样的雷诺数，即使其它状况大不相同，往往会出现同样的现象。例如，无论管子直径多粗或多细，也不管是液体还是气体，只要雷诺数小于2300时，管子里的流体都会规规矩矩的作平行流动，而当雷诺数大于10000时，管子里的流体就呈紊乱流动状态，在2300至10000之间，则是过渡状态。这样一来，就可以作为依据，把实验数据进行放大了。谢天谢地，否则，要建造大型水电站或巨型油轮时，我们需要做多大规模的实验哪！
可是，如果你仔细注意一下雷诺数的公式的话，会发现一个很奇怪的现象，流体力学模型的实验不是按比例缩小的。譬如，为了研究一根直径巨大管道里流体流动的概况，建一个1/10大小的小管子模型，然而，实验时不是让小管子里的流速等于大管子里流速的1/10，而是，必须等于大管子里流速的10倍！
很让人奇怪吧？似乎一点道理都没有。可是，雷诺数等无因次数适用范围非常广，不但包括各种各样的液体，同样还包括各种各样的气体。在航空、航海、水文、石油化工，热工等各个领域得到广泛应用。这些行业里的工程师们无不知道大名鼎鼎的雷诺数，而没几个人能回忆得起那个奈维—斯托克斯方程来，尽管，大学时代老师或许曾经略略提起过。
莫斯科不相信眼泪，流体力学不需要数学。
注解：
（注1） 量子场论方程左端常是些线性算子，而右端是一些非线性组合。进行逐次迭代时，先找到与左端线性算子及其边值条件相应的格林函数，然后，将原来的微分方程转换成等价的积分方程。这个积分方程具有方程（1）的形式，于是，就可以进行逐次迭代了。
（注2） 数学中有一个称为列普希兹条件的判断式。满足了这个条件，方程就存在唯一的解，可以，用逐次迭代法不断逼近。
（注3） 黏度指不同流动速度的流体之间的拖动力量，其单位是克/（厘米*秒）。从平时生活中常遇到的一些现象，可以得到比较直观的概念。例如，水的黏度比较小，而液体胶水的黏度就很大。雷诺数=长度*速度*密度/黏度，相应的单位是：(Cm * cm/sec * g/cm3)/(g/ cm*sec)结果，单位全部抵销。
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